СТРАНИЦА №3. ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ПРОГРЕССИЙ.

Арифметическая прогрессия.

Арифметическая прогрессия - это ряд чисел, в котором все член получаются из предыдущего методом добавления к нему 1-го и того же числа d, которое называется разностью арифметической прогрессии.
Или другими словами: арифметическая прогрессия — численная последовательность, которая имеет вид:

 

,

 

т.е. последовательность чисел (членов прогрессии), в которой числа, начиная со 2-го, получаются из предыдущего путем добавления к нему постоянного числа  (шаг либо разность прогрессии):

 

 

Всякий (n-й) член прогрессии можно вычислить с помощью формулы общего члена:

 

 

Арифметическая прогрессия - это монотонная последовательность. При  она возрастает, а при  — убывает. Если , то последовательность - стационарная. Это следуют из соотношения  для членов арифметической прогрессии.
 

Свойства арифметической прогрессии.

1. Общий член арифметической прогрессии.
Член арифметической прогрессии с номером  можно найти с помощью формулы:

 

,

 

 где  — 1-й член прогрессии,  — разность прогрессии.
 
2. Характеристическое свойство арифметической прогрессии.
Последовательность   - это арифметическая прогрессия  для элементов этой прогрессии выполняется условие:

 

.

 

3. Сумма 1-х  членов арифметической прогрессии.

Сумму 1-х   членов арифметической прогрессии  можно найти с помощью формул:

 

,

где  — 1-й член прогрессии, 
 — член с номером , 
 — число суммируемых членов.

,

где  — 1-й член прогрессии, 
 — разность прогрессии, 
 — число суммируемых членов.

4. Сходимость арифметической прогрессии.
Арифметическая прогрессия  является расходящейся при  и сходящейся при . При этом:
 

 

Примеры арифметических прогрессий.

Арифметическую прогрессию однозначно определяют значения a1 и d. 
Пример 1. Дана прогрессия 1.2, 1.5, 1.8 ... . Найти a5. Решение. Разность прогрессии d = 1.5 − 1.2=0.3. Пятый член a5 = a1 + 4d = 1.2+4 · 0.3=2.4. 
Ответ: 2.4. 
Зная любые два члена прогрессии, можно найти a1 и d. 
Пример 2. Пусть a10 = 10, a14 = 2. Найти a1 и d. Решение: 

Тогда a1 − 18 = 10 ⇒ a1 = 28.
 Ответ: a1 = 28, d = −2. 
Пример 3. Седьмой член арифметической прогрессии равен 1 и равен a4 − a2. Найти a1 и d. Решение:

Ответ: d = 1 2 , a1 = −2. 
Пример 4. Последовательность задана формулой an = −2+3n. Является ли эта последовательность арифметической прогрессией? Решение. 
Для любого n = 1, 2, 3,... выполняется условие an+1 = −2+3(n+1) = −2+3n+3 = an+3, т. е. an+1 = an+3. 
Ответ: последовательность является арифметической прогрессией с разностью d = 3. 
Пример 5. Последовательность задана формулой an = −2+3n2. Является ли эта последовательность арифметической прогрессией? Решение. 
Для любого n = 1, 2, 3,... выполняется условие an+1 = −2 + 3(n + 1)2 = −2+3n2 + 6n +3= an + 6n + 3, т. е.   an+1 = an + 6n + 3. Таким образом, a2 = a1 + 9, a3 = a2 + 15. 
Ответ: поскольку a2 − a1 ≠ a3 − a2, последовательность не является арифметической прогрессией.

Фигурные числа.

С незапамятных времен люди, оперируя с числами, выстраивали на земле замысловатые фигуры из камешков. С какой целью? Ответить на этот вопрос непросто. Наблюдали ли вы, как ласково раскладывает кошка на пороге хозяйского дома свои ночные трофеи? Она не только аккуратно уложит мышек в ряд, но и отсортирует их по размеру. А как паук плетет такие идеально симметричные узоры? Снова загадка. Однако вернемся к числам. Пифагорийцы считали, что фигурные числа скрывают тайны мироздания. К ним проявляли интерес Эратосфен, Гипсикл, Диофант Александрийский и другие математики античности. В средние века фигурные числа занимали Пачоли, Кардано, Фибоначчи и др., а в Новое время – Ферма, Коши и Эйлера. Мы же ограничимся только одним классом фигурных чисел – многоугольными.

Любая арифметическая прогрессия с an = 1 + (n − 1)d, где n = 1, 2,..., а d – целое число, порождает прогрессию второго порядка – последовательность (d + 2) - угольных чисел. Если количество углов многоугольника обозначить m, то исходную прогрессию можно задать формулой an = 1 + (n − 1)(m − 2), а соответствующую прогрессию 2-го порядка –

Ниже в таблице представлены числа, соответствующие m = 3, 4, 5, 6.

Источники информации:

1. Прогрессии: Арифметическая

2. Арифметические прогрессии высших порядков 2.0

3. Белый, Евгений Константинович. Б439 Прогрессии : учебное пособие для абитуриентов и студентов первого курса / Е. К. Белый ; М-во образования и науки Рос. Федерации, Федер. бюджет. образоват. учреждение высш. образования Петрозавод. гос. ун-т. – Петрозаводск : Издательство ПетрГУ, 2016. – 132 с. – (Математика не для ЕГЭ).

≪Назад                                                                                                                             Далее≫